Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом усиливается проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Математическая логика в сущности является формальной логикой, которая использует математические методы. Формальная логика изучает акты мышления (понятия, суждения, умозаключения, доказательства) с точки зрения их формы, логической структуры, абстрагируясь от конкретного содержания.

Каково же соотношение математической и диалектической логики? Попытаемся проследить это на примере. На рубеже 19 20 вв. были открыты парадоксы, связанные с основными понятиями теории множеств, как составляющей математической логики. Наиболее известным стал парадокс, открытый известным английским философом Бертраном Расселом. В наиболее общей форме парадокс Рассела выглядит так: Пусть К множество всех множеств, которое не содержит себя в качестве своего элемента.

Вопрос: содержит ли К само себя в качестве элемента?

Если ответ «да», то, по определению К, оно не должно быть элементом К и мы получили противоречие. Если ответ «нет» то, по определению К, оно должно быть элементом К вновь противоречие… В полушутливой форме Рассел представляет этот парадокс через однотипный, так называемый парадокс «Брадобрея» во «Введении в философию математики» (1919). Деревенский брадобрей должен брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? Если он будет брить себя, значит, он бреется сам и не имеет права брить себя. Но если он не будет брить себя, он имеет права себя брить. . Таким образом можно продемонстрировать и парадоксальность «множества всех множеств, не являющихся собственными элементами».

Общепризнанного решения этого парадокса сегодня не существует, существуют только различные способы удаления (элиминации) из теории множеств объектов, подобных множеству Рассела. Например, теория множеств Э. Цермело аксиоматически ограничивает построение множеств только «допустимыми» множествами .

Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный  Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин. Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным.

Подобные математические и формально-логические парадоксы свидетельствуют о неполноте и недостаточности строгих познавательных систем. Диалектическая логика легко разрешает ситуации, подобные приведенной Расселом. Так брадобрей в реальной жизни мог бы сделать для себя исключение как побрив себя сам, так и обратившись к другому мастеру. В математике подобные парадоксы являются стимулом для развития самого математического языка, понятийного аппарата, а также – системы доказательств и опровержений.

Вопросы, рассматриваемые Бертраном Расселом актуальны, они не имеют полного и однозначного решения и на сегодняшний день.

Статья на тему Парадокс Бертрана Рассела